Nama : Aza gustina
BP : 19130002
Dosen Pengampu : Sularno S.Kom,M.Kom
Matriks Dan
Aljabar Linear
Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear
A. Bentuk umum
Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam
bentuk a1x1 + a2x2 + … + anxn = b dengan a1, a2, …, an , b adalah konstanta riil.
Dalam hal ini, peubah yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi
logaritma ataupun fungsi exponensial.
Contoh:
A. x + y = 4 = persamaan linear dengan 2 peubah
B. 2x – 3y = 2z +1= persamaan linear dengan 3 peubah
C. 2 log x + log y = 2 = bukan persamaan linear
D. 2ex
= 2x + 3= bukan persamaan linear
B. Sistem persamaan linear ( SPL )
Definisi
Sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga dari persamaan linea.
SPL memiliki 2 macam penyelesaiian:
1. Tidak Memiliki Penyelesaian ( tidak konsisten)
2. Memiliki Penyelesaian ( Konsisten)
a. Solusi Tunggal
b. Solusi banyak
Untuk penyelesaian n persamaan dari n variable (A ∙ X= B) dapat diselesaikan
dengan empat cara, yaitu:
a. Dengan eliminasi
b. Dengan Cara OBE:A│B = OBE (I│ X)
c. X=A-1∙B
d. Aturan Cramer : Xj=│Aj│
a. Dengan eliminasi
Metode ini digunakan dengan cara mengeliminasi (menghilangkan) salah satu
variabelnya, sehingga diperoleh sebuah persamaan dengan satu variabel.
Contoh:
2x + 3y = 1 … pers.(1)
3x + y = 5 … pers.(2)
Mengeliminasi x
2x + 3y = 1 |x3| 6x + 9y = 3
3x + y = 5 |x2| 6x + 2y = 10
7y = -7
y = -1
Mengeliminasi y
2x + 3y = 1 |x 1| 2x +3y = 1
3x + y = 5 |x 3| 9x +3y = 15
-7x = -14
x = 2
Jadi, HP = {(2, -1)}
b. Operasi Baris Elementer (OBE)
Untuk menentukan solusi dari SPL dilakukan dengan cara membentuk matrik yang
diperluas/diperbesar dari SPL dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks
yang diperbesar tersebut. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan
ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara
sistematik:
1. Kalikan persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol.
2. Pertukarkan dua persamaan tersebut.
3. Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya.
Sifat-sifat matriks yang berbentuk eselon baris (row-echelon form) dan eselon baris
tereduksi (reduced row-echelon form) :
1. Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris
tersebut adalah 1. (kita namakan ini 1 utama).
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu
dikelompokkan berama-sama dibawah matriks.
3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol,
maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh kekanan dari 1
utama dalam baris yang lebih tinggi.
4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.
c. A ∙ X= B,
Dimana:
A = Matriks koefisien ( harus matriks bujur sangkar)
X = Matriks Variabel (berbentuk matriks Kolom)
B =Matriks suku tetap (berbentuk matriks kolom)
d. Aturan Cramer
Teorema :
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak
diketahui sehingga det(A) 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang
unik.
C. Homogen
Bila diberikan suatu SPL maka akan ada dua kemungkianan terhadap
kebenaran solusinya, yaitu SPL tidak mempunyai solusi disebut SPL Tak Konsisten
dan SPL mempunyai solusi disebut SPL Konsisten.
Sebuah sistem persamaan-persamaan linear dikatakan homogen jika
memuat konstan sama dengan nol.
SPL homogen Amn X=0 ( m: Persamaan, n=Variabel)
a) m > n hanya mempunyai solusi trivial
b) m = n jika |A|#0=trivial
|A|=0=tidak trivial
c) m < n mempunyai solusi tidak trivial
Contoh :
Carilah penyelesaian SPL homogen berikut :
3 a + b = 0
}m=n |A|#0
a – b = 0
Jawab :
3 a + b = 0
a-b=0
-----------------
4a =0 -------->a=0
3a+b=o
3(0) +b=0 ------------>b=0
Matriks
A. Definisi Matriks
Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau
dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi
panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen),
disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolomkolom.
Notasi yang digunakan:
{} [] ||
NOTASI MATRIKS
Matriks kita beri nama dengan huruf besar seperti A, B, C, dll. Matriks yang mempunyai
i baris dan j kolom ditulis A=(aij ), artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya aij
dimana indeks I menyatakan baris ke I dan indeks j menyatakan kolom ke j dari elemen
tersebut.
B. Jenis-Jenis Matriks
Berikut ini diberikan beberapa jenis matriks selain matriks kolom dan matriks baris
a) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nol
Sifat-sifat :
1. A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
2. A*0=0, begitu juga 0*A=0.
b) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah
kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari
matriks bujursangkar A tersebut.
Contoh : Matriks berukuran 2x2
A=
1 0
2 3
c) MATRIKS BUJURSANGKAR ISTIMEWA
a. Bila A dan B merupakan matriks-matriks bujursangkar sedemikian sehingga
AB=BA maka A dan B disebut COMMUTE (saing).
b. Bila A dan B sedemikian sehingga AB=-BA maka A dan B disebut ANTI
COMMUTE.
c. Mtriks M dimana Mk+1=M untuk k bilangan bulat positif disebut matriks
PERIODIK.
d. Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga Mk+1=M maka M
disebut PERIODIK dengan PERIODE k.
e. Jika k=1 sehingga M2=M maka M disebut IDEMPOTEN.
f. Matriks A dimana Ap=0 untuk p bilangan bulat positif disebut dengan matriks
NILPOTEN.
g. Jika p bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga Ap=0 maka A disebut
NILPOTEN dari indeks p.
DAN MASIH BANYAK JENIS MATRIKS YANG LAIN NYA.
C. Operasi Matriks
a) Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks
yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij ) dan B=(bij ) adalah
matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij ) dimana
(cij ) = (aij ) +(bij ) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan
elemennya (cij ) = (aij ) +(bij ).
b) Pengurangan Matriks
Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat
dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika
ukurannya berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan.
c) Perkalian Matriks
Dengan Skalar
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) yaitu
suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A
dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau
dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (cij ) = (kaij ).
d) PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS
Beberapa hal yang perlu diperhatikan :
1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif.
2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama
dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah
suatu matriks C=(cij ) berukuran mxn dimana
cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ………………….+ aipbpj .
D. Matriks Transpose
Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah
matriks AT =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai
kolom ke-i dari AT.
Beberapa Sifat Matriks Transpose :
1. (AT) = A
2. (A+B)T = AT + BT
3. k(AT) = (kA)T
4. (AB)T = BT AT
Determinan dan Invers
A. Determinan
Jika A =a b c d , maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) = a b c d = ad – bc
Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar
1. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol,
maka det(A) = 0.
2. Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada
diagonal utama, yakni det(A) = a11a22 … ann
3. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh
konstanta k, maka det(A’) = k det(A)
4. Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A
ditambahkan pada baris lain, maka det(A’) = det(A)
5. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det(A) = det(At
)
6. Misalkan A, A’ dan A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam baris
tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggap bahwa baris ke r dari A” dapat
diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke-r
dari A dan dalam baris ke-r dari A’, maka det(A”) = det(A) + det(A’) [hasil yang
serupa juga berlaku untuk kolom]
7. Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka det(AB) =
det(A) det(B)
Minor dan Kofaktor
Jika baris ke-j dan kolom ke-k pada determinan yang disajikan di atas dihilangkan, kemudian
dibentuk sebuah determinan dari unsur-unsurnya yang tertinggal, akan diperoleh determinan
baru yang terdiri atas (n-1) baris dan (n-1) kolom.
a. Determinan matriks ordo 2 x 2
Matriks berordo 2 × 2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada bagian ini akan
dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 × 2. Misalkan A adalah matriks persegi
ordo 2 × 2 dengan bentuk A = a b
c d
Determinan matriks A di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemenelemen
pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder.
Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Nilai dari determinan
suatu matriks berupa bilangan real.
b. Determinan matriks ordo 3 x 3
Pada bagian ini, Anda akan mempelajari determinan mariks berordo 3 × 3.
Misalkan A matriks persegi berordo 3 × 3 dengan bentuk
A= 1 2 3
2 3 4
5 6 7
berordo 3 × 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut:
1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelah kanan tanda
determinan.
2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama
dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar).
3.Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal
lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar).
4.Sesuai dengan definisi determinan matriks maka determinan.
c.Menyelesaikan SPLDV dengan Determinan
Determinan Variabel x dan Determinan Variabel y.
1. Determinan Utama (D) adalah determinan yang koefisiennya x dan y. Koefisien x
masing-masing terletak pada kolom pertama, sedangkan koefisien y terletak masingmasing di kolom kedua.
2. Determinan Variabel x (Dx) adalah determinan yang diperoleh dengan cara
mengganti koefisien-koefisien variabel x dari determinan utama dengan bilanganbilangan ruas kanan.
3. Determinan Variabel y (Dy) adalah determinan yang diperoleh dengan cara mengganti
koefisien-koefisien variabel y dari determinan utama dengan bilangan-bilangan ruas
kanan.
B. Matriks Invers
Definisi: Bila A.B= B.A=I. Maka A dan B saling invers. Notasi invers A adalah A-1
Sifat-sifat Matriks Invers
Jika A dan B non singular, atau invertibel,maka: A.B juga non singular.
(A.B)-1= B-1.A-1
An={A.A.A…A}= n factor
A0=I
A-n=(A-1)n={A-1,A-1,A-1..A-1}= n factor
(A-1)-1=A
(p.A)-1=p-1.A-1=1/pA-1
Am.An=Am+n
(An)m=An.m
Untuk menentukan invers matriks dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: metode
reduksi baris dan metode determinan.
Dengan mengingat sifat-sifat matriks satuan I, A = IA.
Selanjutnya, dengan mereduksi A di ruas kiri menjadi I maka ruas kanan akan tereduksi
menjadi B sehingga menghasilkan I = AB. Jadi, B adalah invers matriks A. Metode
reduksi baris terdiri atas operasi-operasi berikut:
1. Menukarkan dua baris
2. Mengalikan sembarang baris dengan sebuah tetapan k #0 dan.
3. Menjumlahkan atau mengurangkan dua baris sembarang.
Contoh:
A= 1 2
------>A-1=?
3 4
A.A-1= |
Sekiaan resume yang saya buat semoga bisa bermanfaan maaf jika ada kesalaahan dalam membuat resume ini karna saaya juga masih baru belajar sekira nya mohon dimaafkan.
SEKIAN DAN TERIMAKSIH
